血管三维图像再现中的数学方法

         作者：张志文 张秀梅 吴秀香

【关键词】  血管

　　摘要：序列图像的计算机三维重建是应用数学和计算机技术在医学与生物学领域的重要应用之一。依据一根血管的一组平行切片图，运用有效的数学方法，在计算机上成功再现了其三维图像。

　　关键词：位图；三维重建；中轴线；曲线拟合                                                         
　　血管三维重建问题来源于序列图像的计算机三维重建［1，2］。序列图像的计算机三维重建是应用数学和计算机技术在医学与生物学领域的重要应用之一。

　　为研究生物体的复杂结构，常将其本身或局部做成切片。切片图像序列把生物体内部的各种复杂结构和变化一层层地暴露出来了，人们通过依次对每张切片图像的观察、分析和比较，综合起来可以形成对生物体内部结构的立体认识。从几何角度看，这种综合就是由切片图像序列恢复生物体内部结构的几何形状，称此为序列图像的三维重建。这项工作，过去是在人脑中进行的，专业人员通过观察，凭经验在自己头脑里想象出生物体的内部结构和几何形状。在今天当然把这项繁杂的工作交由计算机完成，实行序列图像的三维重建的计算机化、自动化。序列图像的计算机三维重建是切片制作的逆过程，很复杂，需要综合运用图像处理、图形学、计算机辅助几何设计等多学科的方法，是当前研究的前沿和热点课题之一。

　　血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重要性众所周知，诊断师在临床中经常需要了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学模型是图像三维重建的重要一环。

　　2001年全国大学生数学建模竞赛题目为“血管三维重建问题”，要较好解决该问题，远非建模竞赛要求的三天所能完成。因此，竞赛结束后产生的优秀论文中都存在不完善之处，本研究的目的正是基于此而产生的。

　　1 问题的提出

　　假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。

　　现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。图像文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图像象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图像中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为
（-256，

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